1.-Análise do contexto no que se desenvolveu o seminario permanente
2.-Xustificación das variacións introducidas respecto do proxecto inicial
Non se produciron grandes variacións respecto do proxecto inicial. Unicamente dicir que o enfoque das sesións foi máis interdisciplinar que o que se programara na memoria inicial.
Aínda que nas primeiras sesións cada departamento foi expoñendo o que consideraba interesante para o Seminario, as sesións sempre remataron cunha posta en común por parte de tódolos participantes.
As últimas sesións foron máis prácticas, colaboraron os profesores que forman parte do seminario e tamén parte do alumnado do centro.
Ademais das horas de reunión que estaban previstas tamén empregamos horas dentro do horario escolar para facer actividades cos alumnos.
3.-Consecución dos obxectivos
Obxectivos propostos
1.-Crear un clima interdisciplinar entre os departamentos de matemáticas, ciencias e artes que posibilite o intercambio de información e experiencias dende os distintos puntos de vista.
2.-Investigar as posibilidades pedagóxicas da xeometría e a súa divulgación.
3.-Ampliar coñecementos a partir da búsqueda de documentación en distintos medios.
4.-Adquirir outros puntos de vista para traballar o bloque de xeometría e poder motivar ó alumnado na relación e importancia de dito tema na vida cotiá.
5.-Desenrolar posibilidades teórico-prácticas no estudo da xeometría aplicada ás diferentes materias de arte.
6.-Analizar e investigar a importancia da xeometría nos seres vivos e na natureza.
7.-Mostrar e compartir as experiencias a través do blog e exposición.
Obxectivos acadados ao final do proceso
Consideramos que tódolos obxectivos propostos na memoria inicial foron acadados e ademais os seguintes:
1.-Creouse un clima interdisciplinar entre os departamentos de matemáticas, ciencias e artes ao longo de todo o curso, non soamente no que se refire ao Seminario Permanente, tamén no traballo diario e na organización das materias que imparten os membros do Seminario permanente.
2.-A partires da papiroflexia fíxose un traballo de divulgación da xeometría entre toda a comunidade educativa.
3.-A partires do Seminario permanente fíxose divulgación do concepto de fractal e a importancia dos mesmos.
4.-Contidos desenvolvidos e actividades realizadas
Ao longo de todo o seminario fóronse tratando diferentes temas dos que se fai un pequeno resumo a continuación.
4.1-Contidos desenvolvidos
4.1.2- Fractais
Un fractal é un obxecto semixeométrico cuxa estrutura básica, fragmentada ou irregular, se repite a diferentes escalas. O termo foi proposto polo matemático Benoît Mandelbrot en 1975 e deriva do latín fractus, que significa quebrado ou fracturado. Moitas estruturas naturais son de tipo fractal.
Un fractal ten as seguintes propiedades (definición dada por K.J.Falconer,2003):
- É demasiado irregular para ser descrito en termos xeométricos tradicionais.
- Posúe detalle a calquera escala de observación. Esta propiedade implica que nas ocasións en que a fractalización ou o grao de detalleda xeometría tenda a infinito, será imposible medila. Este fixo que na literatura matemática se lles chame curvas monstro, xa que a lonxitude dunha curva fractal iterada ata o infinito, contida nunha área finita, é infinita, alque que para a xeometría tradicional é unha paradoxa.
- É autosimilar (exacta, aproximada ou estatisticamente).
- A súa dimensión de Hausdorff-Besicovitch é estritamente maior que a súa dimensión topolóxica. Esta propiedade teórica implica que o seu tamaño, xa sexa lonxitude ou superficie, dependendo da dimensión que teña o fractal, é maior do que se podería esperar dunha forma euclidea. Esta dimensión de Hausdorff-Besicovitch é unha maneira de medir a dimensión fractal ou a “fragmentación” da xeometría a estudar e danos unha idea de cómo ocupa o espazo que a contén.
- Defínense por un simple algoritmo recursivo.
Non chega cunha das propiedades anteriores para definir un fractal. Por exemplo, a recta real non se considera un fractal, pois a pesares de ser un obxecto autosimilar carece do resto das característica esixidas.
Un fractal natural é un elemento da natureza que pode ser descrito a partires da xeometría fractal. As nubes, as montañas, o sistema circulatorio, as nosas costas, os copos de neve son fractais naturais. Esta representación é aproximada, pois as propiedades atribuídas aos obxectos fractais ideais, como o detalle infinito, teñen límites no mundo natural.
Introdución
Os fractais xurdiron nos anos 1970 e unificaron unha serie de exemplos que se consideraban monstros matemáticos.
Os exemplos clásicos
O primeiro exemplo de fractal apareceu no ano 1872, a función de Weierstrass, que hoxe en día se da como exemplo de función continua pero non diferenciable en ningún punto.
Posteriormente apareceron exemplos con propiedades similares pero cunha definición máis xeométrica. Ditos exemplos poden construírse a partires dunha figura inicial (semente), á que se lle aplican unha serie de construcións xeométrica sinxelas. A serie de figuras obtidas aproxima a unha figura límite que corresponde co que hoxe en día consideramos figura fractal. Así, en 1904, helge von Koch definiu unha curva con propiedades similares á de Weierstrass: o copo de neve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construíu o seu triángulo e, un ano despois, a súa alfombra.
Imágenes del copo de nieve de Koch y de la alfombra de Sierpinski
Estos conxuntos amosaban limitacións do análise clásico, pero eran vistos como obxectos artificiais, unha “galería de monstros”, como os denominou Poincaré. Poucos matemáticos viron a necesidade de estudar estes obxectos en si mesmos.
No ano 1919 xurde unha ferramenta básica na descrición e medida destes conxuntos: a dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
Os conxuntos de Julia
Estes conxuntos, froito dos traballos de Pierre Fatou e Gaston Julia nos anos 1920, xorden como resultado da aplicación reiterada de funcións holomorfas.
Poner ejemplos de fractales de Julia
Familias de fractais: o conxunto de Mandelbrot
A familia de conxuntos de Julia , asociadas á reiteración de funcións da forma presenta conxuntos dunha variedade sorprendente.
Dita familia ten especial relevancia porque traballou con ela nos anos 1980 Mandelbrot. Mandelbrot construíu un conxunto M, fractal, que representa un mapa, no que cada pixel , correspondente a un valor do parámetro se colorea de modo que reflexa unha propiedade básica do conxunto de Julia asociado a En concreto, para os c que están dentro do conxunto M o conxunto de Julia asociado é conexo.
Aplicacións
Os fractais na natureza:
Mandelbrot comeza a introdución do seu libro “Xeometría fractal na natureza” (1982) da seguinte maneira: “As nubes non son esferas, as montañas non son conos, os litorais non son circulares, e os ladridos non son suaves, o mesmo que os lóstregos non viaxan en liña recta.”(Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).
As formas fractais están presentes na materia biolóxica, xunto coas simetrías (as formas básicas que soamente necesitan a metade da información xenética) e as espirais ( as formas de crecemento e desenrolo da forma básica cara a ocupación dun espazo maior).
Os fractais aparecen en procesos nos que se producen saltos cualitativos nas formas biolóxicas, posibilitan catástrofes (feitos extraordinarios), que dan lugar a realidades máis complexas.
As características das formas fractais veñen dadas polo seu propio proceso de creación e podémolas atopar en diferentes aspectos da natureza, como por exemplo, no terreo e na xeoloxía. En 1967 Mandelbrot publicou un artigo na revista Science titulado “Canto mide a costa de Inglaterra? Auto-similitude, estatística e dimensión fraccionaria” (Mandelbrot, 1967). Neste artigo explica a “paradoxa da costa” . Esta basease en que a lonxitude da costa de Inglaterra varía dependendo da lonxitude da escala que se empregue para medila. Isto débese a que a liña da costa é un tipo de fractal xerado pola erosión e a composición da roca. Isto crea multitude de entrantes e salientes que forman no seu conxunto curvas con propiedades fractais.
Por outra banda, as montañas tamén teñen xeometría fractal, esta vez ocasionada pola erosión da choiva, o vento, a fractura das rocas polos cambios de temperatura e presións, movementos sísmicos, etc. Estas paisaxes pode xerarse de maneira virtual dando parámetros e empregando programas informáticos para xerar fractais. No vídeo adxunto aparece algún.
As desembocaduras dalgúns ríos tamén presentan este tipo de xeometría, orixinada pola ramificación dos diferentes caudais. Nestes casos, como pode ocorrer tamén nas ramificacións das árbores ou os raios, non existe unha autosimilitude exacta, senón estatística.
A causa de que estes fenómenos tan diferentes en principio teñan todos propiedades fractais débese a que comparten o mesmo proceso de formación, denominado agregación con difusión limitada ou crecemento fractal (Sander, 1987). Este tipo de crecemento defina a maneira na que se crean os perfís das costas, a propagación dos raios ou o crecemento dos vasos sanguíneos do noso corpo (Goldberger, 1990).
Os fractais nos seres vivos
Entre os seres vivos tamén podemos atopar sorprendentes exemplos de xeometría fractal. Un dos máis peculiares é o Brocoli Romescu, que presenta unha xeometría fractal cunha autosimilitude case perfecta. Tamén o brócoli común presenta ramificación fractal, aínda que a autosimilitude neste caso non sexa exacta.
IMAGEN
Un dos exemplos clásicos da xeometría fractal na natureza provén dunha das primeiras plantas do noso planeta: os fentos. Estes presentan unha autosimilitude case perfecta entre as ramificacións. A razón da aparición deste tipo de formas fractais nos organismos vivos débese de igual xeito que no caso das costas e as montañas, a que se emprega un método de creación sinxelo e repetitivo para xerar formas complexas.
As ramificacións son un dos deseños biolóxicos máis abundantes debido a súa sinxeleza e a súa eficiencia á hora de cubrir unha superficie ou volume, unha das código xenético da planta da a mesma orde a unha rama principal que a unha secundaria: medra e bifúrcate creando unha réplica de ti mesma en cada ramificación. Deste xeito, podemos atopar ramificacións con formas fractais tanto nos fentos como nas árbores, nas follas ou asemade no noso sistema nervioso, cardiovascular ou nos alveolos dos nosos pulmóns.
No caso das plantas este deseño permítelles maximizar a superficie e deste xeito captar a maior luz, e osíxeno posible. No caso do sistema nervioso ou as venas e arterias do noso corpo, permítenos cubrir e alimentar o máximo número de células e asegura que a presión sanguínea por en cada unha das ramificacións é a mesma ó existir autosimilitude e polo seu proceso de formación fractal, do mesmo xeito que a formación fractal dos nosos bronquios e alveolos pulmonares nos permite maximizar o intercambio de e osíxeno en cada inspiración. Para facernos unha idea do nivel de bifurcacións e o gran aproveitamento do espazo que se consegue dentro dos pulmóns, medida a partir de pulmóns humanos e outras especies, é de 2,7, cando un plano euclideo tradicional ten dimensión 2.
Non soamente a forma do noso corpo é fractal, se estudamos as funcións corporais tamén atoparemos patróns fractais nelas, e incluso esta característica fractal pode ser síntoma de saúde en contraposición a patróns cíclicos periódicos (Goldberger, 1990). Dende fai moito tempo a medicina tradicional considerou que un ritmo cardíaco regular era síntoma de saúde e cando un corpo envellecía os ritmos caóticos e erráticos aparecían como síntoma de enfermidade. Nembargante, estudos recentes amosan que o ritmo cardíaco ó longo do tempo presenta unha forma fractal e que en principio parece caótica, e pola contra, os patróns repetitivos e periódicos son síntoma de enfermidade. Isto débese a que un corazón san pode cambiar o seu ritmo cardíaco para compensar as necesidades do organismo, transmitidas polos sistemas simpático e parasimpático, creando oscilacións caóticas. Un corazón enfermo non é capaz de adaptarse e cubrir as necesidades do organismo, e presenta unha pauta regular, que acaba por dexenerar os tecidos o que produce un fallo no sistema.
Tamén se asocian as estruturas fractais ós sistemas fisiolóxicos tanto de distribución (sistema sanguíneo, linfático), como de recolección (dixestivo, pulmonar) e de procesamento da información (neuronas e sistema nervioso) coa resistencia a lesións e fallos parciais, debido a súa autosimilitude e á redundancia de estruturas. Isto fai que poidan seguir funcionando no caso de sufrir enfermidades, traumas ou o deterioro causado polo estres e o envellecemento, permitindo que as zonas sans poidan suplir as funcións das danadas.
Sistemas dinámicos
As formas fractais non soamente se presentan nas formas espaciais dos obxectos senón que se observan tamén na propia dinámica evolutiva dos sistemas complexos (teoría do caos). Dinámica que consta de dous ciclos: partindo dunha realidade establecida simple acaban na creación dunha nova realidade complexa, que a súa vez forman parte de ciclos máis complexos que forman parte do desenrolo da dinámica doutro gran ciclo. As evolucións dinámicas de todos estes ciclos presentan as similitudes propias dos sistemas caóticos.
Manifestacións artísticas
Os fractais tamén se utilizan na composición harmónica e rítmica dunha melodía como na síntese de sons. Isto débese ao uso do que en composición chaman “micromodos”, ou pequenos grupos de tres notas.
4.1.3-Caos
Caos é hoxe en día a palabra máis de moda na ciencia. A teoría do caos en realidade data dos anos 60. O matemático Henri Poincaré foi pioneiro nalgúns estudos, alá polo cambio de século, pero nos anos 60 comezou o traballo sistemático.
Eduard Lorenz, estaba realizando un traballo sobre modelos simples do clima da terra no Instituto de Tecnoloxía de Massachussets a comezos dos 60, e deu un paso clave. Empregou o ordenador e un simple conxunto de ecuacións deterministas para probar e entender algo sobre o clima.
O traballo de Lorenz popularizouse como “efecto mariposa”. No canto de que dous puntos de partida deran lugar a un desenrolo aproximadamente igual no futuro, tal como Lorenz e practicamente todo científico da época esperaban, eses puntos poderían guiar a comportamentos diferentes e impredecibles no futuro. Isto ocorría sen importar como de cerca estiveran os puntos de partida. A máis insignificante diverxencia nas condicións iniciais podía levar a enormes e impredecibles diferenzas no resultado.
Dende entón o traballo de Lorenz foi xeralizado, e atopouse nel unha propiedade típica de moitos sistemas non lineais. O curioso é que leis deterministas aparentemente simples, en moitos casos dan lugar a comportamentos fantásticamente complicados, que son incriblemente sensibles ás condicións iniciais-un efecto mariposa xeralizado.
Este resultado non é debido á nosa ignorancia das condicións iniciais nin a unha falla para medilas con precisión. Algúns sistemas son tan sensibles ás condicións iniciais que, sen importar como de cerca estiveran os puntos de partida, aínda así os seus comportamentos futuros serías diverxentes.
Un pode predicir o movemento dun satélite varios anos antes, resolvendo algunhas ecuacións sinxelas derivadas das leis de Newton. O satélite repetira máis ou menos o mesmo movemento ou órbita unha e outra vez. Nembargante, non é posible esta clase de predición nos sistemas caóticos. As ecuacións subxacentes poden ser estritamente deterministas, a miúdo derivan das leis de Newton, pero a única maneira de ver un comportamento futuro é esperar e mirar, xa sexa o que suceda no ordenador ou no mundo real.
4.2-Actividades realizadas
Vídeo, que se divide en tres partes:
- Poliedros: neste primeiro bloque aparecen imaxes de poliedros que van dende formas teóricas, formas construídas con papiroflexia, ata poliedros que se atopan nos minerais ou nos seres vivos.
- Fractais: Nesta parte aparecen un conxunto de imaxes que representan fractais. As imaxes aparecen de xeito que unha representa un fractal teórico creado por cun programa informático e por outra banda o fractal real. Por exemplo hai imaxes de árbores ou paisaxes creadas por ordenador e imaxes de paisaxes reais e árbores reais. O curioso é que ás veces resulta complicado distinguir a imaxe real da imaxe creada artificialmente a partires dun algoritmo para crear fractais.
- Caos: no último conxunto de imaxes aparecen imaxes que corresponden a sistemas dinámicos caóticos coma poden ser un furacán, un tornado, un lóstrego, etc.
Papiroflexia
Ó longo de todo o ano fíxose un traballo de divulgación da papiroflexia xeométrica. A partires da mesma construíronse no centro, involucrando ós alumnos, diferentes poliedros.
5.-Criterios e procesos de avaliación empregados
-Análise e valoración das producións do grupo
Consideramos que a produción do grupo foi moi interesante sobre todo polo feito de conseguir enfocar temas comúns dende puntos de vista totalmente distinto.
-Aplicación e repercusión do proxecto na práctica educativa
O emprego da papiroflexia fixo que se traballase de xeito máis práctico a xeometría nas aulas. Os alumnos están máis motivados cando se lles da oportunidade de construír. Tamén hai que ter en conta que se retén moito máis fácil o que se fai que o que soamente se ve.
-Metodoloxía empregada
Reunións periódicas de tódolos membros do seminario cunha posterior aplicación na aula dos temas que se consideraron interesantes.
-Grado de satisfacción do grupo co traballo realizado
Alto grado de satisfacción.
-Propostas de mellora e, no seu caso, a continuidade do traballo
O grupo de traballo ten a intención de continuar o ano que ven para profundizar nalgún aspecto e construír máis materiais, pois este ano dedicoulle parte do tempo a sesións teóricas.
6.-Conclusións: logros e incidencia no centro
7.-Relación detallada dos materiais didácticos elaborados e dos documentos que se entregan (en soporte de papel e informático)
8.-Actas das sesións de traballo do grupo con relación das persoas asistentes e ausentes
9.-Acta de resumo final asinada pola coordinadora e co visto e prace do xefe de estudos.
10.-Materiais elaborados
No hay comentarios:
Publicar un comentario